Tal för min son

Jag vet att du är jätteung och ännu kan du inte prata. Och att det kan dröja lite längre för dig än för dina jämnåriga innan du fattar vad folk pratar och hur man pratar tillbaka. Att lära sig tre olika språk från början kan jag tänka mig är ganska svårt. Men oavsett, har jag haft en känsla att det finns några grejer som jag vill förklara för dig. Således titeln på detta blogginlägg: Tal för min son.

Talförmåga

Om man tror på Wikipedia kommer det troligen ta några år innan du kan ens börja fatta vad tal, eller siffrorna, är för nåt. Förmågan att förstå siffror, att resonera och att tillämpa enkla numeriska begrepp, har faktiskt en specifik term reserverad för sig på engelska: Numeracy. Om man skulle försöka översätta det till svenska kunde man tänka sig först kanske på matematisk litteracitet som beskriver ganska bra vad begreppet betyder. Men det är ju lite krångligt term att använda. Andra optioner kunde vara: numeracitet, taluppfattning eller sifferförmåga.

Det första är ju ett direkt inlån och sånt accepterar vi inte. Det andra är ganska bra men uppfattning enligt svenska.se är en åsikt, mening eller personligt sätt att betrakta och bedöma något. För mig känns det för subjektivt, så vi lägger det där till sidan också. Det sista låter ju bäst av de tre men kanske för vardagligt på grund av ordet siffer. När man beskriver olika siffror i det svenska språket har man valt att använda ordet tal. Därför tar vi det sista men byter siffer till tal. Och därmed landar vi på talförmåga. Något som jag verkligen ser fram emot att se utvecklas hos dig. För att hjälpa dig i detta tänkte jag skriva ihop ett text som beskriver alla olika tal som du troligen kommer en eller annan dag att träffa. Magnus och Sigge var vänliga nog att lägga upp det på sin blogg. Nu kör vi!

Naturliga tal

Jag kan tänka mig att de första tal som du kommer att kunna begripa är naturliga tal. De är ju på något sätt väldigt... väl... naturliga. Jag skulle vilja föreställa mig att jag kan se det redan utvecklas inom dig. Eller kanske är det bara en känsla av att vara en stolt pappa, men när jag tar ut en låda ur kylskåpet med snacks som din mamma har gjort åt dig och jag säger till dig:

Ta en. En.

Du kollar inte ens på mig men viftar dina händer runt och sträcker sedan snabbt ut handen för att gripa tag i en. Varför du tar bara en har troligen mer att göra med att det är fysiskt möjligt för dig att gripa tag i bara en, än att du förstår hur mycket nummer ett betyder. Men när du har fattat vad nummer ett betyder, kommer det chocka dig att det finns någonting som är dubbelt så stort! Och det är ju nummer två. Och någonting som är trippelt så stort: nummer tre. Och någonting som är fyra gånger så stort: nummer fyra. Det här fått mig att tänka att vi borde lansera ett helt nytt ord till det svenska språket: fybbelt. Och varför stanna där? Om man följer regeln dubbelt och trippelt kan vi helt enkel fortsätta med

feppelt

sebbelt

sjuppelt

åbbelt

nippelt

tibbelt

och så vidare tills oändlighet. För mitt öga verkar det som en skön regel: alla jämna tal slutar med -bbelt och alla udda tal slutar med -ppelt. Man vet omedelbart från uttalet om talet är delbart med två eller inte. Fast det skulle inte hjälpa mig som Sigge retade mig i avsnitt två av PTOU. Men för er svenskarna skulle det vara ju jätteanvändbart! Jag lämnar detta här, alla svenskarna kan gärna börja tillämpa det :)

Men tillbaka till min son. För naturliga tal brukar man använda symbolen ℕ. Du kanske redan har en känsla av vilka typer av tal är inkluderat i naturliga tal: ett, två, tre, fyra, fem och så vidare. Det finns vissa matematiker som bråkar om huruvida noll ingår i naturliga tal eller inte. Jag har personligen suttit med på en matematikföreläsning på universitetet där vi använde lejonparten av föreläsningen till att diskutera huruvida noll skulle inkluderas eller inte. Jag hoppas att du slipper ett sådant öde! Men låt oss inte fastna i det naturliga, för det finns mycket mer spännande saker som väntar oss!

Heltal

Om vi då fortsätter med våra exempel om snacks. En dag kommer du kunna ta två snacks ut från lådan även om jag hade sagt:

Ta en. En.

Och vi kommer att hamna i en svår förhandling. Du vill ha två men du får bara ha en. Du känner till alla naturliga tal och inom det det finns ingen koncept för minus ett snacks. Hur i alla världen kunde du ge bort en? Som tur är, finns jag här för att hjälpa dig! Det finns nämligen ett sätt att utvidga vårt talsystem så att det även omfattar negativa tal. "Negativa tal? Vad fan är de för nåt?" föreställer jag mig att du kommer att tänka för dig själv. Så innan vi hamnar i en förhandling där du blir arg och jag blir arg och vi bara skriker på varandra, kan jag komma runt detta problem genom att arbeta mig igenom den här hypotetiska situationen.

Så du har två snacks. Jag tar bort en från dig. Hur många har du kvar? Bara ett. Ett sätt att skriva detta är:

$2 - 1 = 1$.

Eller för att driva igenom konceptet om negativa tal:

$2 + (-1) = 1$.

Nu har jag antagit att du är bekant med den aritmetiska operationen addition, $+$. Det borde vara enkelt nog: Om man först tar en och sen en till har man två. Alltså:

$1 + 1 = 2$.

Ett plus ett är lika med två är ju enkelt att förstå! Så hur går man från det till det första ekvationen? Att två minus ett är ett. Man lägger till helt enkelt till det inversa elementet av ett, (-1), på båda sidor av ekvationen, använder symmetrin hos likhetstecknet, och skriver in det neutrala elementet (0 = 1 + (-1)) för att få:

$2 + (-1) = 1$.

Alltså negativt ett snack är mängden snacks av två som du inte fick ha. Nu skjuter jag från höften men jag gissar att negativa tal kallas för negativa tal för de brukar väcka negativa känslor. Lite på samma sätt som jag tror du känner dig när jag tar ditt snack från dig. Hur som helst, som en sista anmärkning, låt mig nämna att för heltal man brukar använda symbolen ℤ. Vi kör vidare!

Rationella tal

Vi kan fortsätta med våra exempel om snacks. Det kan vara att du en dag kommer att få en lillebror, eller en lillasyster, och att det finns bara ett snack kvar i kylskåpet för pappan hade glömt att fixa några till. Då kommer vi göra så som mina föräldrar gjorde med mig och mina bröder. En av er får dela snacken i två delar och den andra får välja först. Om man är jättenoga kan man lyckas med att dela snacken exakt i två bitar men det väcker en fråga: Hur många snack har du då? Du har hälften av en. Eller, du har ena halvan. Men en hel snack är dubbelt så mycket som hälften av en! Du har en som är bara halvan av en! Och här landar vi på idén om rationella tal. De kan skrivas som en kvot av två heltal $T$ och $N$ i följande sätt:

$T/N,$

där $T$ kallas för täljare och $N$ kallas för nämnare. Observera att alla heltal kan skrivas som ett rationella tal om man väljer $T$ vara heltal av intresse och då alltid väljer $N$ att vara lika med ett. I våra exempel om snacks har vi heltal $T$ lika med ett och heltal $N$ lika med två. Nämnaren berättar oss hur många barn vi har och täljaren hur många delar av ett snack du kommer att få. Och eftersom du är en smart pojke är du förmodligen orolig för vad som händer när $N$ blir riktigt stor, men jag försäkrar dig, det är något du inte behöver oroa dig för. Ibland känns det som ett barn är tillräckligt.

Och just det! Rationella tal brukar man beteckna med ℚ. Vi går vidare.

Irrationella tal

Nu börjar vi närma oss till någonting som är mer intressant! Irrationell som ett begrepp betyder enligt svenska.se någonting som är "svårt att förutse eller förklara logiskt". Och om man bara är bekant med heltal, och deras kvot, kan irrationella tal vara svårt att acceptera. Vi fortsätter att följa våra exempel om snacks.

Någon dag när du är lite äldre, det måhända att jag eller din mamma ger dig godis på lördag. Ett godis som var en av mina favoriter när jag växte upp var en sak som hette metrilaku. För er som inte vet, är det en lakritstråd som är en meter lång. Man hittar dem i alla möjliga smaker men min favorit var noitapilli. Låt oss säga att jag köper dig lakritstråd att prova när vi besöker Finland nästa gång men bara om du kan skapa ett rätvinklig triangel med en meter lång lakritstråd på båda kateter. Lätt nog! Men vad är då längden på lakritstråden som du måste placera på hypotenusan? Och kan du uttrycka längden som ett rationellt tal? Jag ska ge dig svaret här, för det är vad en kärleksfull far skulle göra, även om jag riskerar din mors vrede för att jag ger dig onödigt socker.

Längden på hypotenusan får vi enkelt från Pythagoras sats som du troligen kommer att lära dig om i förskolan. Eller? Jag har ingen aning vad de lär ut i skolorna nuförtiden, ännu mindre om sex år. Men någon gång kommer du lära dig det! Vad Pythagoras sats säger är att för en rätvinklig triangel är kvadraten av hypotenusan lika med summan av kvadraterna för kateterna:

$h^2 = k_1^2 + k_2^2$,

där $h$ är hypotenusans längd, $k_1$ är första katetens längd och $k_2$ är andra katetens längd. I våra exempel är både $k_1$ och $k_2$ lika med ett så vi kan skriva:

$h^2 = 2 \rightarrow h = 2^{(1/2)} = \sqrt{2}$,

där symbolen $\sqrt{2}$ markerar en kvadratrot. Den du kommer troligen också lära dig i förskolan och om inte, då byter vi skola! De här sakerna är ju elementära! Hur som helst, kan man skriva $\sqrt{2}$ som ett kvot mellan två heltal? Tyvärr inte. Låt oss gå genom ett klassisk motsägelsebevis för detta (inom matematik måste man många gånger bevisa saker genom motsägelsebevis vilket alltid har stört mig oerhört mycket. Kanske detta skulle vara ett ämne för ett framtida blogginlägg?! Sigge?! Magge?!).

Så låt oss säga att vi kan skriva $\sqrt{2}$ som ett kvot mellan två olika heltal $A$ och $B$:

$\sqrt{2} = A/B$,

där kvoten är förkortad så långt som möjligt. Alltså, det finns inga gemensamma faktorer. Ingen två, tre eller fyra och så vidare som $A$ och $B$ har gemensamt. Att upphöja båda sidorna upp i tvåans potens ger

$2 = A^2/B^2 \leftrightarrow A^2 = 2\cdot B^2$.

Det följer då att $A^2$ är ett jämn tal. Vad då för $A$? För att säga någonting om det måste vi skapa ett hjälpsats som matematikerna brukar kalla för lemma. Vi nämner detta lemma som lemma 1:

Låt $N$ vara ett heltal som vi använder att skriva:

$E = 2\cdot N$ och $O = 2\cdot N + 1$.

Där $E$ är nu ett jämnt tal och $O$ är ett udda tal. Kvadrering av båda sidorna ger:

$E^2 = 4\cdot N^2$ och $O^2 = 4\cdot N^2 + 4\cdot N + 1$.

Så vi ser att kvadrering av jämna tal ger jämna tal och kvadrering av udda tal ger udda tal. Med lemma 1 vet vi nu då att om $A^2$ är ett jämnt tal då följer det att även $A$ är ett jämnt tal. Vi kan då skriva:

$A = 2 \cdot K$,

där $K$ är vilket heltal som helst. Om vi nu sätter $A$ i ekvationen $A^2 = 2 \cdot B^2$ får vi

$4\cdot K^2 = 2\cdot B^2 \leftrightarrow B^2 = 2\cdot K^2$

vilket betyder att $B^2$ är ett jämnt tal och därmed, genom användning av lemma 1, är även $B$ ett jämnt tal. Men detta är en kontradiktion! För nu har vi visat att $A$ och $B$ har en gemensamt faktor: nummer två. Vi kan alltså inte skriva $\sqrt{2}$ som ett kvot mellan två heltal $A$ och $B$. Och en sånt tal är ju irrationell! Det finns saker som vi har inte nämnt om irrationella tal, till exempel om talen är algebraiska eller transcendentala, men vi måste vidare!

Reella tal

Vi har gått ett långt väg och bara nu landar vi till det som folk brukar att ha i tanke när man pratar om siffror. Det lättaste sättet att tänka på dem är att tänka på ett linje där det inte finns mellanrum mellan olika siffror. En sånt linje brukar man kalla för den reella tallinjen och alla tal som befinner sig på denna linjen betecknar man med ℝ. Som en sidoanteckning betecknas de irrationella talen från föregående kapitel vanligtvis med ℝ \ ℚ. Det vill säga, alla reella tal minus alla rationella tal. Vi skulle kunna gå genom olika egenskaper som de reella talen uppfyller, till exempel hur addition och multiplikation är associativa, hur det för båda operationer existerar ett enhetstal, för att varje tal det finns ett invers, och så vidare, och så vidare. Men istället går vi vidare till de tre återstående taltyperna!

Komplexa tal

Först och främst borde jag säga att komplexa tal är inte så komplexa som namnet kanske får en att tänka sig. För mig har det alltid känts som ett dåligt val för ett namn men det är det som folk har använt och därför kommer vi också använda det. Lika väl kunde vi kalla de oanvändbara tal som det sägs i denna Numberphile-video. Dessa tal brukar man beteckna med ℂ.

Ett sätt att visualisera komplexa tal är att vidga vårt tankesätt och utöka den reella tallinjen i en rät vinkel för att definiera ett plan. På horisontella linjen har du alla dina reella tal på samma sätt som vi hade i förra kapitlet och sen på vertikala linjen har du alla tal som kallas för imaginära tal. Vad då för imaginära? Ja men alla reella tal fast multiplicerat med en imaginära enhet, i, med egenskapen:

$i^2 = -1.$

Med hjälp av kvadratroten kan vi skriva detta också som $i = \sqrt{-1}$. Vad fan är detta för något? Kvadratroten av minus ett. En sånt tal som ger minus ett om man multiplicerar det med sig själv. Om du har tänkt på kvadraten på någon slags area, till exempel en kvadrat med en sidlängd av två ger en area av fyra. Men om du har ett kvadrat av en sidlängd 2i får du ett area av minus fyra. Vad ska nu det betyda? Ju mer man försöker fundera över det, desto mindre mening har det. Det är lättare att bara acceptera att vi kanske bara får se vad vi kan få ut av dessa tal?

Utan att gå till allt som är intressant med komplexa tals egenskaper, rektangulär form, polär form, absolutbelopp, konjugat, räkneregler och så vidare, låt mig bara nämna ett användningsområde för komplexa tal: elektromagnetismen. Med komplexa tal kan man samtidigt hantera absolutbelopp och fasvinkel som annars skulle vara ganska jobbigt att ta hänsyn till. Till exempel impedans, $Z$, kan vi skriva som

$Z = R + i \cdot X$,

där $R$ är resistans och $X$ är reaktans. Utan att gå för mycket in i detaljer, låt mig bara säga att om du kommer vara intresserad av elgitarrer (vilket jag för min egen skull, och för din mammas skull, hoppas att du inte kommer att vara intresserad av) är detta någonting som du vill ta hänsyn till. Och om du verkligen vill förstå problemet då kommer du behöva komplexa tal för att beskriva effekten. Vi fortsätter framåt!

Hyperkomplexa tal

Nu börjar det bli svårt, ur ett lekmannaperspektiv, att motivera varför man borde veta om tal som heter något så komplext som hyperkomplexa tal. Och på något sätt börjar vi verkligen röra oss längre från konceptet tal som en lekman förstår det. För att korrekt förstå vad man menar med dessa tal borde man ju också definiera vad ett fält är, vad är en algebra och hur man sätter upp en algebra över ett fält. Och det går såklart att göra men jag tror att du är inte i en sådan ålder att du skulle vara intresserad av detaljerna i det. Så i stället låt oss bara ta ett simpel exempel!

Personligen har jag höga förhoppningar om kvantdatorer. Människor som är mycket smartare än jag arbetar outtröttligt för att försöka bygga en dator med tillräckligt många fungerande qubits (kvantbitar). Det kan vara att när du är tillräckligt gammal att kunna förstå vad som är skrivet i detta blogginlägg kommer mänskligheten ha byggt sin första fullskalig fungerande kvantdator. Nu känner jag inte till detaljerna om hur en kvantdator fungerar, och jag vill inte heller låtsas vara en auktoritetsröst på det området, men exemplet jag alltid hör när det beskrivs för mig berättar om en elektron i ett säreget tillstånd som kallas superpositionstillstånd. Hur kopplar allt detta till ämnet i diskussionen?

Ju, men det vet jag! Om du tar ett elektron i ett vakuum och struntar i allt annat, hur beskriver man en sånt system? Med hjälp av den berömda Dirac-ekvationen, såklart:

$(i\gamma^\mu \partial_\mu - m)\psi = 0,$

där $i$ är våra tidigare vän det imaginära enhet, $\partial_\mu$ är en vektorformad partiell derivata, som jag är säker på att de också kommer att lära dig på förskolan, och $\psi$ är vågfunktionen som beskriver vår elektron. Vad är då $\gamma^\mu$ som jag hoppade över? Ja men beroende på vilken representation du har valt att använda, kan det vara lite vad som helst men man brukar använda fyra gånger fyra matriser att beskriva de. Men mer generellt de är, väl... föremål som lyder på någonting som heter Clifford algebra:

$\gamma^\mu \gamma^\nu = - \gamma^\nu \gamma^\mu$.

Ja vet exakt vad du tänker på! Hur kan det vara så att om jag multiplicerar ett föremål med en annan på ett sätt och och sedan bara vänder på multiplikationsordningen, då får jag minus det ursprungliga talet? Ja menar, två gånger fyra är åtta och fyra gånger två är också åtta. Men med vissa tal som man behöver för att beskriva naturen behöver man tal som inte är kommutativa. Alltså "två gånger fyra" är inte samma som "fyra gånger två". På liknande sätt förväntar du dig ett annat resultat om du först blandar ihop alla kakingredienser och sen bakar de i ugnen än om du gör de två stegen i omvänd ordning. Jag skulle vilja hävda att den första metoden leder till ett "positivt" resultat och den senare till ett "negativt" resultat.

Det finns naturligtvis många andra typer av hyperkomplexa tal än den som jag har nämnt här. Men Dirac-ekvationen är kanske den som jag har haft nöjet att arbeta mest med och de hyperkomplexa tal som behövs med det. Kanske kommer du att göra likadant i framtiden!

p-adiska tal

Och slutligen kommer vi till den sista taltypen som jag vill nämna för dig. Det finns ett bra Veritasium-video om du vill börja med någonting som är ganska lätt att begripa. Själv har jag aldrig haft nöjet att arbeta med dessa tal men jag tycker att de är så himla konstiga och intressanta att de är värt att nämna snabbt för dig: nämligen p-adiska tal. På sätt och vis utvidgar de konceptet av rationella tal till en annan typ av geometri.

Du är kanske bekant med egenskapen hos reella tal som att 1 är lika med 1,0. Eller 1,00. Eller 1,000. Eller ett och komma följd av oändligt antal nollor. Man kan göra exakt likadant fast till vänster om decimaltecknet. Vad är konstigt med p-adiska tal är att man behöver ingen minus tecken. Alla rationella tal, oavsett om de är positiva eller negativa, är inkluderat! Det är ju helt galen! Och vackert! Utan att gå i detaljer (de som är intresserade kan börja med tidigare nämnt Veritasium video) måste man vara lite försiktigt med hur man bygger upp ett talsystem från p-adiska tal. Varför kallas de för p-adiska förresten?

Ja men p står för primtal (primtal är ett tal som är större än ett och som inte är ett produkt av två mindre naturliga tal) och definierar basen som man jobbar med. Och adiska är ett ord som beskriver någonting relaterad till en bas eller modul som involverar potenser hos något. Man väljer ett primtal för att ha den trevliga egenskapen hos noll att det är det enda talet som alltid ger noll när man multiplicerar det med ett annat tal. Ja men hur räknar man med p-adiska tal då? Nå, för de som har gått samma förskoleklass som jag tänker att sätta dig på, är tal p grunden för den modulära aritmetik du använder när du räknar med dessa tal. Till exempel när man säger vad klockan är använder man modulär aritmetik. Just nu när jag skriver detta blogginlägg är klockan exakt tre på eftermiddagen. Om tolv timmar är klockan igen exakt tre. Det här är ingen konstighet: Tal som skiljer sig med ett multipel av 12 är "samma tid" på klockan. Det finns mycket mer vi borde gå igenom men jag vet att du är ung, och jag har hoppat över många detaljer tidigare, så låt mig göra det här också. Vad gör man med dessa tal då?

Det finns vissa som kommer inte gilla svaret men jag tycker att svaret är faktiskt det bästa hittills. Svaret är att det viktigaste användningsområde för de är inom matematiken själv. Till exempel, det verkar vara så att Andrew Wiles använde det i sitt bevis av Fermats sista sats. När jag forskade om detta, och läste genom en Wikipedia-sida om p-adiska tal, stötte jag på ett användningsområde inom kvantfysiken. Det verkar som att det handlar någonting om strängteori vilket för mig bara är lite bra science fiction. Inget fel med det, men fiktion är fiktion.

Men jag känner att det här är ett bra ställe att stanna och tänka lite. För alla andra tal gav jag dig ett exempel på hur du kan använda de i ditt liv. Det gör olika tal på något sätt användbara. Men jag hoppas att det här inte är det enda sättet du vill använda tal på. Inte för att de är användbara utan för att de kan vara konstiga. Intressanta. Och på ett udda sätt vackra. Sakers värde ligger inte bara i hur man kan använda dem. Försök att komma ihåg det.

På tal om tal

Nu är det dags att runda av! Jag hoppas att jag har givit dig ett bra inblick på alla olika tal som människorna har kommit på. Det finns säkert saker som jag har glömt att kommentera på men det är ju därför man har ett kommentarsektion! Så kommentera gärna om du kom att tänka på någonting som inte helt stämmer! Slutligen låt mig dela med mig av ett sista minne från min barndom.

När jag var ung lekte jag ett spel med mina vänner: "Vem kommer upp med högsta möjliga tal?" Det var min vän som frågade detta och jag tänkte att jag var ganska smart för jag visste att miljard var en jättestor siffra. Jag kommer inte ihåg hur gammal jag var men det måste ha varit några år innan grundskolan. Så jag svarade för min vän:

Miljard!

Men han var smartare än jag och han sa:

Jag vet någonting som är dubbelt så stor, nämligen två miljarder!

Jag blev helt förbluffad! Det var dubbelt så stort! Men jag vägrade att bli besegrad i den här matchen så jag svarade eld med eld:

Ja... Ja... men då säger jag miljard miljard!

"Hah, nu visade jag honom!" Tänkte jag. För miljard var det största tal som jag visste så om jag tar miljard miljard, kan någonting faktiskt vara större än det största tal multiplicerad med sig själv?! Jag tror inte det! Men tyvärr, min vän var ett steg före mig igen. Han sa bara kort:

Miljard miljard är dock ingenting jämfört med googol! Jag vinner!

Jag hade ingen aning vad googol var för nåt men har sen lärt mig att det är ett följt av hundra nollor. Alltså:

10 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000

Så om man jämför mina miljard miljard, som är ett följd med arton nollor:

1 000 000 000 000 000 000,

bleknar det verkligen i jämförelse. Jag hade ytterligare ett ess i rockärmen som jag tänkte använda mot ett tal som jag hade ingen aning hur stor det var:

Ja men googol är ingenting jämfört med oändlighet! Så, då vinner jag!

Men min vän hade tänkt på detta också och sa med ett självbelåtet leende på läpparna:

Oändlighet är ingen tal!

Ju, det är det!

Nej, det är inte det!

Ju, det är!

Nej, är inte!

Ju!

Nej!

Ju!

Nej!

Jag kommer inte ihåg hur långt vi fortsatte så men jag har sen lärt mig att min vän hade rätt och jag hade fel. Jag har också lärt mig sen att hur min vän visste allt det här var att hans storebror hade lärt sig det på skolan och fortsatte sedan för att testa sin bror om det. Och min vän förmedlade helt enkelt visdomen till mig. Det finns mycket man kunde skriva mer om oändlighet och allt sånt men det känns som att detta blogginlägg är tillräckligt långt utan det! För vissa det kan ha känts som oändligt långt. Vi får se om jag kommer att ha äran i framtiden att skriva ett till inlägg för Magnus och Sigge. Håll utkik för att få reda på det!